Определённый интеграл — это интеграл от функции, вычисленный в пределах от a до b. Он используется для вычисления площади под кривой на определённом отрезке. Однако, определённый интеграл имеет ряд свойств, которые необходимо знать, чтобы правильно применять его в расчетах.
Свойство линейности
Определённый интеграл обладает свойством линейности, что значит, что интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций. Аналогично, интеграл от функции, умноженной на константу, равен произведению этой константы на интеграл от функции. Математически это записывается следующим образом:
∫a,b + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx
∫[a,b] k * f(x) dx = k * ∫[a,b] f(x) dx
Свойство аддитивности
Если интеграл вычисляется на нескольких отрезках, то его значение можно вычислить как сумму интегралов на каждом отрезке. Математически это записывается следующим образом:
∫[a,b] f(x) dx + ∫[b,c] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx
Свойство монотонности
Если функции f(x) и g(x) на отрезке [a,b] таковы, что f(x) ≤ g(x), то интеграл от f(x) на этом отрезке меньше интеграла от g(x) на этом отрезке. То есть, интеграл от возрастающей функции больше, чем интеграл от убывающей функции. Математически это записывается так:
если f(x) ≤ g(x), то ∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx
Свойство замены переменной
Если у нас есть функция f(x) и новая переменная t, связанная с x уравнением x = φ(t), то интеграл от f(x) на отрезке [a,b] может быть выражен в виде интеграла от той же функции f(φ(t)) на отрезке [α,β], где α и β — это значения функции φ на отрезке [a,b]. Математически это записывается следующим образом:
∫[a,b] f(x) dx = ∫[α,β] f(φ(t)) * φ'(t) dt
где φ'(t) — производная функции φ.
Свойство симметрии
Если функция f(x) является чётной на отрезке [-a,a], то интеграл от неё на этом отрезке равен удвоенному интегралу от функции f(x) на отрезке [0,a]. Если же функция f(x) нечётная, то интеграл от неё на отрезке [-a,a] равен нулю. Математически это записывается так:
∫[-a,a] f(x) dx = 2 * ∫[0,a] f(x) dx, если f(x) — чётная
∫[-a,a] f(x) dx = 0, если f(x) — нечётная
Заключение
Определённый интеграл имеет множество свойств, которые необходимо знать для правильного применения его в расчетах. Знание свойств линейности, аддитивности, монотонности, замены переменной и симметрии поможет вам более точно вычислять площади под кривыми и решать другие математические задачи.
