Интегралы — одна из основных тем математики, которая находит свое применение в различных областях науки и техники. В этой статье мы рассмотрим формулу интегрирования по частям в определённом интеграле.
Предположим, что у нас есть функции $u(x)$ и $v(x)$, которые являются непрерывно дифференцируемыми на отрезке $[a,b]$. Тогда формула интегрирования по частям для определённого интеграла имеет вид:
$$\int\limits_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b — \int\limits_a^b u'(x)v(x)dx$$
Здесь символ $u'(x)$ обозначает производную функции $u(x)$, а $v'(x)$ — производную функции $v(x)$.
Рассмотрим пример применения формулы интегрирования по частям в определённом интеграле. Пусть нам нужно вычислить интеграл:
$$\int\limits_0^1 x \ln x dx$$
Здесь мы можем выбрать $u(x) = \ln x$ и $v'(x) = x$, тогда $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v(x) = \frac{x^2}{2}$. Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям, получаем:
$$\int\limits_0^1 x \ln x dx = \left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_0^1 — \int\limits_0^1 \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = -\frac{1}{4}$$
Таким образом, мы получили значение определённого интеграла.
Формула интегрирования по частям в определённом интеграле может быть использована во многих задачах, например, в задачах на вычисление площадей криволинейных фигур, вычисление объёмов тел и других задачах. Важно отметить, что для применения этой формулы необходимо, чтобы функции $u(x)$ и $v(x)$ были непрерывно дифференцируемыми на отрезке $[a,b]$.
В заключение, формула интегрирования по частям в определённом интеграле является важным инструментом в решении математических задач. Её применение позволяет вычислять определённые интегралы, а также помогает понимать свойства функций и их производных.
